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Oct 26, 2022
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TOPSIS
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Math
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类型
summary
前言
优劣解距离法,又称逼近理想解法,是应用于评价类问题的解法,能够反应原始数据的信息.
在层次分析法(AHP)无法处理时,常用TOPSIS处理.
指标
指标类型
指标类型 | 描述 |
极大型指标 | 越大越好 |
极小型指标 | 越小越好 |
中间型指标 | 越接近某个值越好 |
区间型指标 | 在某个区间最好 |
矩阵的生成
Step1. 指标的统一
将所有指标统一为极大型指标的过程,称为指标正向化.
1. 极小型$\rightarrow$极大型
构造计算公式
$\tilde{x_i}$=$max-x_i$
若所有$x$均为正数,则可以用以下公式表示
$\tilde{x_i}$=$\frac{1}{x_i}$
2. 中间型$\rightarrow$极大型
首先找出每个$x_i$与最优值之间距离的最大值$M$
$M$=$max${$|x_i-x_{best}|$}
$\tilde{x_i}$=1-$\frac{\tilde{x_i}-x_{best}}{M}$
3.区间型$\rightarrow$极大型
假设$\{x_i\}$的最佳区间为$[a.b]$
$M$=$max$${a-min{x_i},max{x_i}-b}$
$$ \tilde{x_i}=\left{
\begin{aligned}
1-\frac{a-x}{M},x<a \
1,a\leq x\leq b \
1-\frac{x-b}{M},x>b
\end{aligned}
\right.
$$ ### Step2. 正向化矩阵标准化 标准化的目的是消除不同指标采用不同量纲的影响 在由$n$个评价对象,$m$个已正向化的指标构成的正向化矩阵中 $$ X= \begin{bmatrix} {x_{11}}&{x_{12}}&{\cdots}&{x_{1m}}\\ {x_{21}}&{x_{22}}&{\cdots}&{x_{2m}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {x_{n1}}&{x_{n2}}&{\cdots}&{x_{nm}}\\ \end{bmatrix} $$
经过标准化处理后的矩阵记为$Z$,那么$Z$的每个元素为
$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_{ij}}^2}}$
可以表示为z与最小值的距离/z与最大值的距离+z与最小值的距离
Step3. 归一化处理
不考虑权重
若不考虑各因素的权重,则可按如下方式处理
已经过标准化处理的矩阵为
$$ Z= \begin{bmatrix}
{z_{11}}&{z_{12}}&{\cdots}&{z_{1m}}\
{z_{21}}&{z_{22}}&{\cdots}&{z_{2m}}\
{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\
{z_{n1}}&{z_{n2}}&{\cdots}&{z_{nm}}\
\end{bmatrix}
$$ 这里求出每列的最大值和最小值,并分别记为行向量$Z^{+}$和$Z^{-}=(max\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},\cdots,max\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\})$ $Z^{+}=(min\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},\cdots,min\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\})$ 第$i(i=1,2,\cdots,n)$个评价对象与最大值距离$D^{+}=\sqrt{\sum_{i=1}^n(z_j^{+}-z_{ij})^2}$ $D^{-}=\sqrt{\sum_{i=1}^n(z_j^{-}-z_{ij})^2}$ 第$i(i=1,2,\cdots,n)$个评价对象最终结果为 $S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$ $(0\leq S_i\leq 1)$ 可见,$S_i$越大,$D_i^{-}$越小,越接近最大值. #### 考虑权重 若考虑各因素的权重,可以通过[层次分析法(AHP)](https://bebebe.be/archives/23/)计算权重,并按如下处理 第$i(i=1,2,\cdots,n)$个评价对象与最大值距离$D^{+}=\sqrt{\sum_{i=1}^n\omega_i(z_j^{+}-z_{ij})^2}$ $D^{-}=\sqrt{\sum_{i=1}^n\omega_i(z_j^{-}-z_{ij})^2}$ 当然,最后还需要检验所有权重之和是否唯一 $\sum_{j=1}^m\omega_j=1$
